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본 도서는 연습문제 해답을 제공하지 않습니다.
AI 기술에서 출발해서 선형대수학 원리에 닿다
인공지능은 벡터와 행렬로 세상을 계산한다. 텍스트와 이미지는 벡터가 되어 공간에 놓이고, 신경망의 각 층은 행렬 연산으로 데이터를 변환하며, 학습은 고차원 공간에서 더 나은 방향을 찾아가는 과정으로 설명된다. 이것이 선형대수학이 인공지능을 읽고 설명하는 기본 언어인 이유다. 이 책 『인공지능을 위한 최소한의 선형대수학』은 AI를 이해하는 데 반드시 알아야 할 개념만 추려, 선형대수학과 AI 기술 사이의 연결이 분명하게 드러내도록 구성한 교재다.
이 책은 벡터와 행렬의 기초에서 출발해 노름, 내적, 선형연립방정식, 벡터공간, 고윳값, 특잇값분해를 거쳐 어텐션, 잔차 연결, LoRA, 역전파, 임베딩까지 AI 핵심 기술의 수학으로 확장한다. 각 장은 해당 개념이 쓰이는 AI 기술을 먼저 살펴본 뒤 그 바탕에 놓인 선형대수학 원리로 들어가는 흐름을 따른다. 장의 마지막 절에서는 NumPy와 PyTorch로 임베딩 유사도 계산, 셀프어텐션, 행렬분해 기반 추천 시스템 등을 직접 구현한다. 연습문제에는 기본 수학 문제와 함께 최신 AI 기술과 연계된 문항을 담아, 배운 개념이 실제로 어떻게 쓰이는지 확인할 수 있게 했다.
이 책은 인공지능과 데이터과학을 공부하려는 대학생과 비전공자를 주요 대상으로 하며, 고등학교 수준의 수학과 파이썬 기초 문법만 알면 처음부터 순서대로 따라갈 수 있도록 구성했다. 대학원생이나 현업 실무자에게는 필요한 장을 골라 AI 관점에서 선형대수학을 다시 정리하는 참고서로도 유용하다. 수식 앞에서 자주 멈췄던 독자, 그리고 AI 기술의 바탕을 한 번쯤 제대로 짚어보고 싶은 독자에게 적합하다.
❖ 본 도서는 대학 강의용 교재로 개발되었으므로 연습문제 해답은 제공하지 않습니다.
출판사 리뷰
AI를 쓰는 사람에서 AI를 이해하는 사람으로, 그 사이를 잇는 선형대수학
AI를 배우는 학생에게 선형대수학은 정의와 정리, 증명으로 가득한 낯선 수학이자, 라이브러리 함수 한 줄 뒤에 숨어 보이지 않는 계산입니다. 기존 선형대수학 교재는 엄밀한 기초를 쌓아가며 방대한 내용을 다루다 보니, AI와의 연결은 책의 후반부에서야 드러나거나 끝내 드러나지 않는 경우가 많았습니다. 반대로 AI 입문서는 필요한 수학을 몇 쪽으로 요약하고 지나가곤 합니다. 그 사이에서 학생들은 개념과 응용을 따로따로 배우며, 둘을 스스로 연결해야 하는 부담을 지고 있었습니다.
『인공지능을 위한 최소한의 선형대수학』은 이러한 문제의식에서 출발합니다. 이 책의 '최소한'은 내용을 덜어낸 축약본이라는 뜻이 아니라, AI 이해에 필요한 개념을 골라 그 사이의 연결이 보이도록 학습 경로를 다시 설계했다는 뜻입니다. 가장 큰 특징은 학습 방향입니다. 개념을 먼저 배우고 쓰임새를 나중에 확인하는 대신, 각 장은 임베딩 검색, 데이터 군집화, 차원 축소처럼 그 개념이 실제로 쓰이는 AI의 장면에서 출발합니다. '이 개념이 왜 필요한가'에 먼저 답하고 수학으로 들어가기 때문에 학습 목적을 잃지 않습니다. 그렇게 쌓은 개념은 PART 04와 PART 05에서 어텐션, 잔차 연결, LoRA, 전이학습, 역전파 같은 현재 AI의 핵심 기술을 해석하는 도구로 모입니다. 어텐션이 문장에서 중요한 단어를 가려내는 방식, LoRA가 거대한 모델을 처음부터 다시 학습시키지 않고도 새로운 일에 맞게 다듬는 방식, 역전파가 오차를 거슬러 올라가며 모델을 고쳐 나가는 방식을 앞서 쌓은 개념으로 하나하나 따라가다 보면, 선형대수학은 시험을 위한 과목을 넘어 최신 AI를 이해하는 든든한 도구가 됩니다.
강의 현장에서도 쓰임이 분명합니다. 5개 파트, 11개 장으로 구성되어 한 학기 강의 흐름에 맞추어 운영하기 좋고, 장마다 이론과 파이썬 실습이 한 권 안에서 이어지므로 AI 관련 교과목의 선수 과목 교재로도 활용할 수 있습니다. 증명보다 연결을, 계산보다 의미를 앞세운 『인공지능을 위한 최소한의 선형대수학』은 AI 모델을 사용하는 데 머물지 않고 그 안을 들여다보고자 하는 학습자에게 가장 가까운 출발점이 되고자 합니다.
목차
[들어가기 전에] AI에 수학이 필요한 이유
PART 01 AI의 언어
CHAPTER 01 벡터와 행렬의 기초
1.1 벡터와 행렬의 개념
1.2 벡터와 행렬의 연산
1.3 실습 : 벡터와 행렬
연습문제
CHAPTER 02 벡터와 행렬 크기의 관계
2.1 크기와 거리 : 노름
2.2 내적과 외적
2.3 벡터와 행렬의 유사도
2.4 실습 : 임베딩 벡터의 유사도 계산
연습문제
PART 02 선형연립방정식과 벡터공간
CHAPTER 03 선형연립방정식의 이해
3.1 선형연립방정식 개념
3.2 랭크-널리티 정리와 해의 자유도
3.3 선형독립과 행렬식
3.4 행렬식의 기하학적 의미
3.5 실습 : 선형회귀 기초
연습문제
CHAPTER 04 벡터공간의 이해
4.1 인공지능에서의 벡터공간
4.2 벡터공간의 정의와 구조
4.3 기저, 차원, 선형생성, 부분공간
4.4 실습 : 차원 확장을 통한 선형분리 - XOR 문제
연습문제
PART 03 분해와 투영
CHAPTER 05 고윳값과 고유벡터
5.1 데이터를 변환하는 숨은 축
5.2 선형변환
5.3 고윳값과 고유벡터
5.4 스펙트럴 클러스터링
5.5 실습 : 고유벡터 분석과 스펙트럴 클러스터링
연습문제
CHAPTER 06 특잇값분해와 주성분분석
6.1 인공지능에서의 행렬분해
6.2 특잇값분해
6.3 투영
6.4 주성분분석
6.5 실습 : 저랭크 근사와 차원 축소의 응용
연습문제
PART 04 AI 핵심 기술의 수학
CHAPTER 07 어텐션
7.1 트랜스포머와 셀프어텐션
7.2 어텐션 : 부분공간에서의 문맥화 연산
7.3 멀티헤드 어텐션 : 여러 관점에서의 문맥 계산
7.4 위치 인코딩
7.5 실습 : 셀프어텐션 구현
연습문제
CHAPTER 08 잔차의 의미와 역할
8.1 깊은 신경망과 표현공간의 왜곡
8.2 잔차 연결 구조
8.3 스펙트럼 관점에서 본 잔차 연결
8.4 잔차적 사고의 확장 : LoRA
8.5 실습 : 잔차 연결과 스펙트럼 안정성
연습문제
CHAPTER 09 전이학습과 미세조정
9.1 전이학습과 표현공간의 재사용
9.2 저랭크 적응과 LoRA
9.3 프롬프트 학습과 문맥기반 학습
9.4 실습 : 사전학습된 ResNet-18을 이용한 이미지 분류
연습문제
PART 05 AI 알고리즘을 수학으로
CHAPTER 10 딥러닝과 역전파
10.1 손실함수의 의미와 종류
10.2 벡터와 행렬의 미분
10.3 역전파의 선형대수 구조
10.4 딥러닝에서의 학습 안정성
10.5 실습 : 경사하강법 구현
연습문제
CHAPTER 11 임베딩과 행렬분해
11.1 벡터 임베딩의 이해
11.2 정적 임베딩
11.3 문맥적 임베딩
11.4 다양한 대상과 구조의 임베딩
11.5 실습 : 행렬분해 기반 추천 시스템
연습문제
참고문헌
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